Số φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} cũng bằng số các phần tử sinh có thể của nhóm cyclic C n {\displaystyle C_{n}} (và do đó cũng là bậc của đa thức cyclotomic φ n {\displaystyle \varphi _{n}} ). Từ đó mọi phần tử của C n {\displaystyle C_{n}} sinh ra một nhóm con cyclic của C n {\displaystyle C_{n}} va có dạng C d {\displaystyle C_{d}} trong đó d là ước số của n (ký hiệu d | n {\displaystyle d|n} ), ta có

∑ d ∣ n φ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}

trong đó tổng trải trên tất cả các ước dương d của n.

Chúng ta cũng có thể sử dụng công thức đảo ngược Möbius để "đảo ngược" tổng này và được một công thức khác đối với hàm φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} :

φ ( n ) = ∑ d ∣ n d ⋅ μ ( n / d ) {\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}

trong đó μ {\displaystyle \mu } là hàm Möbius xác định trên các số nguyên dương.

Theo Định lý Euler, nếu a nguyên tố cùng nhau với n, nghĩa là, ƯCLN(a,n) = 1, thì

a φ ( n ) ≡ 1 mod n . {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.}

Điều này suy ra từ Định lý Lagrange và từ việc a thuộc nhóm nhân modulo Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } nếu và chỉ nếu a nguyên tố cùng nhau với n.